la Règle et le Compas
Blog Mathématique
Logique
Fonder l’arithmétique dans la théorie des ensembles
Nous explorons la fondation de l'arithmétique naturelle en partant des axiomes de Peano au sein de la théorie des ensembles, révélant une approche innovante pour conceptualiser les nombres entiers naturels. Nous questionnons l'usage traditionnel des ordinaux et...
Les axiomes supérieurs de la théorie naturelle des ensembles
En nous appuyant sur les notions d'objet et de classe issues de la logique naturelle, nous avons redéfini le concept d'ensemble de manière intuitive. Ainsi, nous avons établi une théorie naturelle des ensembles sans recourir à la logique formelle. Cette approche se...
La théorie (naturelle) des ensembles : un fondement ultime pour les mathématiques
La révolution des mathématiques est celle de la théorie des ensembles, qui répond à la fois au problème d'un langage conceptuel universel et rigoureux, et à celui d'un fondement unique pour toutes les disciplines mathématiques. Si la théorie des ensembles est l'œuvre...
Compter dans l’infini avec les nombres ordinaux
Les nombres entiers naturels ont deux visages : d'un côté, ils peuvent être vus comme des séquences ou des "énumérations" – ce qu'on appelle les nombres ordinaux. De l'autre, ils sont perçus comme des "quantités", ce qui nous mène aux nombres cardinaux. Bien que cette...
Implication matérielle et inférence logique : une confusion fréquente
Dans les discussions mathématiques, on entend parfois dire que "le faux implique n'importe quoi", et ce slogan est souvent déformé en : "à partir de quelque chose de faux, on peut démontrer que n'importe quoi est vrai", ce qui est parfaitement absurde. Ce malentendu...
La construction axiomatique de l’arithmétique naturelle
L'arithmétique naturelle est la science des nombres entiers naturels : elle repose sur l'addition, la multiplication, l'ordre naturel et la divisibilité. Or, toutes ces opérations et relations se définissent à partir de la seule fonction successeur, dont les...
Qu’est-ce qu’un ensemble ? Fonder la mathématique dans l’intuition
La théorie naïve des ensembles ou "science des patates" est le fondement naturel (et compréhensible !) de la science mathématique Introduction : les concepts primitifs "Je sais ce qu'est le temps. Si tu me le demandes, je ne le sais plus." Saint-Augustin Cette...
Qu’est-ce que les nombres entiers naturels ? Définir ou axiomatiser
La science mathématique ne cherche pas à définir les nombres entiers naturels, mais à comprendre l'ensemble qu'ils forment. "Dieu a fait le nombre entier, le reste est l'oeuvre des hommes." Leopold Kronecker 1. On ne définit pas les nombres entiers naturels ! Mais on...