la Règle et le Compas
Blog Mathématique
Fonctions
Fonctions continues et théorème des valeurs intermédiaires
Les fonctions continues à valeurs réelles forment le concept fondamental de l'analyse réelle et de la topologie. Or, si la notion de continuité est transparente sur le plan de l'intuition, sa formulation mathématique nécessite une traduction, par exemple à travers la...
Analycité des fonctions holomorphes : indice et formules de Cauchy
Introduction : fonctions holomorphes et analytiques En introduisant les fonctions holomorphes d'une variable complexe, c'est-à-dire dérivables au sens complexe, nous avons mis en lumière un exemple fondamental : celui des fonctions analytiques complexes, développables...
Principes et propriétés des fonctions holomorphes d’une variable complexe
Les principes fondamentaux des fonctions holomorphes d'une variable complexe exploitent la dérivabilité et les caractéristiques uniques qui définissent ces fonctions dans le plan complexe. Nous abordons la définition des sous-ensembles ouverts de $\mathbb{C},$ les...
Convergence et limites des fonctions d’une variable réelle
La notion de limite d'une fonction est la base de l'analyse réelle, c'est-à-dire de la théorie des fonctions à valeurs dans l'ensemble $\mathbb R$ : elle permet entre autres de définir les notions de continuité et de dérivation des fonctions d'une variable réelle, et...
Fonctions monotones d’une variable réelle
Nous revenons dans cet article sur les fonctions monotones d'une variable réelle. Les propriétés de l'analyse des fonctions d'une variable réelle sont celles qui sont associées à la structure de la droite réelle. L'ordre entre nombres réels, représentation de l'ordre...
L’intégrale selon Riemann : fonctions continues sur un segment
Quelle est l'opération inverse de la dérivée d'une fonction ? Une première réponse à cette question consiste à intégrer une fonction qu'on veut pouvoir considérer comme dérivée, afin d'en construire une primitive. Cette problématique conduit naturellement à...
Fractions rationnelles : entre fonctions et arithmétique
Les fractions rationnelles à une indéterminée apparaissent à la convergence de la théorie des fonctions rationnelles et de la théorie des polynômes. En généralisant la construction des nombres rationnels à partir des nombres entiers relatifs, on les construit comme...
Une définition analytique du nombre π par le cosinus
Introduction Lorsque nous avons introduit l'exponentielle circulaire, les fonctions trigonométriques cosinus et sinus ont été définies comme sa partie réelle et sa partie imaginaire. Nous en avons alors tiré les expressions analytiques : \(\cos x=\sum_{n=0}^{+\infty}...
L’exponentielle circulaire et les fonctions trigonométriques
A partir de la fonction exponentielle complexe, on peut définir une fonction "exponentielle circulaire", qui "enroule" la droite réelle sur le cercle trigonométrique, et permet de définir rigoureusement les fonctions trigonométriques cosinus et sinus, qui s'étendent à...
Fonctions analytiques et exponentielle complexe
Certaines fonctions indéfiniment dérivables peuvent être décrites "autour de chaque point" comme la somme d'une série dite "entière". Il s'agit des fonctions analytiques, réelles ou complexes, dont l'exemple typique est celui de la fonction exponentielle, qu'on peut...
Dériver une bijection inverse & l’exemple de la fonction exponentielle
Les relations entre les propriétés de monotonie, continuité et dérivation d'une fonction d'une variable réelle, permettent de calculer formellement la dérivée d'une bijection inverse d'une fonction injective et dérivable. L'exemple le plus représentatif est peut-être...
Polynômes à une indéterminée : la représentation combinatoire des équations
Les polynômes à une indéterminée sont des représentations mathématiques des expressions intervenant dans les équations polynomiales. Ils permettent l'application de méthodes algébriques à la résolution de ces équations. 1. Les équations sont des "objets linguistiques"...
Tracer un cercle dans le plan : équations et paramètres
La définition d'un cercle est simple : il s'agit d'un ensemble de points situés à une même distance d'un point donné. Cette distance est appelée le rayon et ce point le centre du cercle. Avec ces données, on peut trouver l'équation d'un cercle, ou tracer un cercle...
Qu’est-ce que la dérivée d’une fonction ? Définition et interprétation géométrique
La dérivée d'une fonction, c'est sa variation instantanée, autrement dit la pente de la tangente à la représentation graphique de la fonction en ce point 1. Idée générale : une variation instantanée On se place ici dans le cadre des fonctions d'une variable réelle,...