Nous revenons dans cet article sur les fonctions monotones d’une variable réelle. Les propriétés de l’analyse des fonctions d’une variable réelle sont celles qui sont associées à la structure de la droite réelle. L’ordre entre nombres réels, représentation de l’ordre entre les grandeurs naturelles, est l’élément structurel essentiel de l’analyse, et le comportement des fonctions vis-à-vis de l’ordre réel se conçoit à travers la notion de monotonie, qui se comporte bien vis-à-vis de leurs opérations naturelles : la composition et l’inversion.

1.Fonctions d’une variable réelle

Les fonctions de l’analyse réelle sont la conceptualisation des relations orientés entre grandeurs. De telles relations apparaissent en sciences – lorsqu’une grandeur mesurée est « fonction » d’une autre, par exemple la position d’un point mobile en fonction du temps – et en particulier en physique. Mais cette notion de fonction est également essentielle à la mathématique elle-même, par exemple en géométrie – où les fonctions contiennent une « information » sur les objets géométriques ou servent à les « paramétrer » – ou en théorie des nombres – où les fonctions de l’analyse servent à exprimer certaines propriétés, ou même à décrire certains nombres. Les fonctions les plus simples étudiées par l’analyse sont dites « fonctions d’une variable réelle », parce qu’elle prennent leur argument sur une partie de l’ensemble $\mathbb R$ – souvent un intervalle – et on sous-entend par là que leurs valeurs sont réelles. Nous nous intéressons donc ici aux fonctions $f:I\to \mathbb R$, définies sur un intervalle réel $I$.

2.L’ordre entre grandeurs réelles et les fonctions monotones

2.1.Fonctions croissantes, décroissantes, monotones

Les propriétés des fonctions d’une variable réelle sont étroitement liées à la structure de la droite réelle, autrement dit aux opérations d’addition, soustraction, multiplication et division entre nombres réels, mais aussi à l’ordre naturel : rappelons par exemple que si $x,y\in\mathbb R$, on a $x<y$ si et seulement si $y-x$ est un carré non nul (voir Structure et topologie de la droite réelle). La première propriété relative à cette structure est celle de monotonie, les fonctions monotones étant celles qui « préservent » ou « inversent » l’ordre des éléments :

Définition 1
Soient $I$ un intervalle réel et $f:I\to\mathbb R$ une fonction numérique.
i) On dit que $f$ est (strictement) croissante si pour tous $x,y\in I$ tels que $x<y$, on a $f(x)\leq f(y)$ ($f(x)<f(y)$).
ii) De même, on dit que $f$ est (strictement) décroissante si pour tous $x,y\in I$ tels que $x<y$, on a $f(x)\geq f(y)$ ($f(x)>f(y)$).
iii) On dit que $f$ est (strictement) monotone si elle est (strictement) croissante ou (strictement) décroissante.

Toutes ces notions sont étroitement liées par le signe des nombres réels, et donc des fonctions :

• La fonction $f$ est (strictement) décroissante si et seulement si la fonction $-f$ est (strictement) croissante
• La fonction $f$ est strictement croissante (décroissante) si et seulement si elle est croissante (décroissante) et injective.

Exemple 1
i) La fonction $x\mapsto x^2$ est strictement croissante sur l’ensemble $\mathbb R_+^*$ des nombres réels positifs et strictement décroissante sur l’ensemble $\mathbb R_-^*$ des nombres réels négatifs.
ii) La fonction $x\mapsto x^3$ est strictement croissante sur tout intervalle réel.
iii) La fonction $x\mapsto 1/x$ est strictement décroissante sur l’ensemble $\mathbb R_-^*$ des réels strictement négatifs, et strictement décroissante sur l’ensemble $\mathbb R_+^*$ des réels strictement positifs.
iii) La fonction exponentielle $\exp:\mathbb R\to \mathbb R_+^*$ est strictement croissante, et donc la fonction $-\exp:\mathbb R\to \mathbb R_-^*$ est strictement décroissante.
iv) Pour tout nombre réel $a$, la fonction $f_a$ de valeur constante $a$ est à la fois croissante et décroissante sur tout intervalle réel.

2.2.Composition des fonctions croissantes et décroissantes

Les fonctions monotones sont « stables » par composition, ce qui signifie que la composition de deux fonctions monotones est monotone. Pour être plus précis, il faut prendre garde au sens de variation de chaque fonction participant à la composition :

Proposition 1
Soient $f:I\to \mathbb R$ et $g:J\to \mathbb R$ deux fonctions numériques définies sur des intervalles réels $I,J$ tels que $f(I)\subset J$.
i) Si $f$ et $g$ sont (strictement) croissantes, alors $g\circ f$ est (strictement) croissante, et si $f$ et $g$ sont (strictement) décroissantes, alors $g\circ f$ est (strictement) croissante également
ii) Si $f$ est (strictement) croissante et $g$ est (strictement) décroissante, ou si $f$ est (strictement) décroissante et $g$ est (strictement) croissante, alors $g\circ f$ est (strictement) décroissante.

Ces propriétés se démontrent de manière très simple, en considérant les signes des arguments de chaque fonction.

Exemple 1
i) La fonction exponentielle $\exp:\mathbb R\to \mathbb R_+^*$ est strictement croissante, et la fonction $f:x\in \mathbb R_+\mapsto -x^2$ est strictement décroissante, donc la fonction composée $\exp\circ f:x\in\mathbb R_+^*\mapsto \exp(-x^2)\in \mathbb R_+^*$ est strictement décroissante. La fonction $g:x\in \mathbb R_-\mapsto -x^2$ est strictement croissante, donc la fonction $\exp\circ g:x\in \mathbb R_-\mapsto \exp(-x^2)\in \mathbb R_+^*$ est strictement croissante.
ii) La fonction logarithme $\ln:\mathbb R_+^*\to \mathbb R$ est strictement croissante, et la fonction $f:x\in]0,\pi[\mapsto \sin x$ est strictement croissante sur $]0,\pi/2]$ et strictement décroissante sur $[\pi/2,\pi[$, donc la fonction composée $\ln\circ f: x\in ]0,\pi[\mapsto \ln(\sin x)\in \mathbb R$ est strictement croissante sur $]0,\pi/2]$ et strictement décroissante sur $[\pi/2,0[$.

3.Fonctions monotones et bijectives