la Règle et le Compas
Blog Mathématique
Nombres
Fonctions continues et théorème des valeurs intermédiaires
Les fonctions continues à valeurs réelles forment le concept fondamental de l'analyse réelle et de la topologie. Or, si la notion de continuité est transparente sur le plan de l'intuition, sa formulation mathématique nécessite une traduction, par exemple à travers la...
Algèbre Linéaire : la Surprenante Arithmétisation de l’Espace
Fonder l’arithmétique dans la théorie des ensembles
Nous explorons la fondation de l'arithmétique naturelle en partant des axiomes de Peano au sein de la théorie des ensembles, révélant une approche innovante pour conceptualiser les nombres entiers naturels. Nous questionnons l'usage traditionnel des ordinaux et...
Structure et topologie de la droite réelle
L'ensemble des nombres réels, quelle que soit la manière dont il est présenté, défini ou construit, n'est pas une multiplicité "amorphe", mais il vient avec une "structure" naturelle, héritée en dernière analyse de la structure arithmétique de l'ensemble des nombres...
Polynômes irréductibles à coefficients réels et complexes
Les propriétés des polynômes à une indéterminée sur un corps sont analogues à celles des nombres entiers relatifs. En exploitant cette analogie à partir de la notion de polynôme irréductible, on peut en tirer des informations précieuses sur l'arithmétique des...
Fractions rationnelles : entre fonctions et arithmétique
Les fractions rationnelles à une indéterminée apparaissent à la convergence de la théorie des fonctions rationnelles et de la théorie des polynômes. En généralisant la construction des nombres rationnels à partir des nombres entiers relatifs, on les construit comme...
Produit mixte et orientation dans l’espace euclidien
Le plan euclidien acquiert une orientation naturelle par le choix d'une base, que l'on peut qualifier de directe ou d'indirecte. Cette orientation se manifeste à travers le signe du déterminant de la base, correspondant à l'aire algébrique du parallélogramme orienté...
Quantifier l’infini avec les nombres cardinaux
Quand il s'agit de compter ou de classer des ensembles, nous faisons appel à deux types de nombres : les ordinaux et les cardinaux. Alors que les nombres ordinaux nous aident à mettre en ordre une série d'éléments (premier, deuxième, troisième, etc.), les nombres...
Compter dans l’infini avec les nombres ordinaux
Les nombres entiers naturels ont deux visages : d'un côté, ils peuvent être vus comme des séquences ou des "énumérations" – ce qu'on appelle les nombres ordinaux. De l'autre, ils sont perçus comme des "quantités", ce qui nous mène aux nombres cardinaux. Bien que cette...
La construction axiomatique de l’arithmétique naturelle
L'arithmétique naturelle est la science des nombres entiers naturels : elle repose sur l'addition, la multiplication, l'ordre naturel et la divisibilité. Or, toutes ces opérations et relations se définissent à partir de la seule fonction successeur, dont les...
Racines carrées dans les corps finis : le cas de -1 et le critère d’Euler
Les corps finis traduisent sur le plan structurel certaines propriétés arithmétiques et servent de "corps de restes" en théorie des nombres. Par analogie avec les corps $\mathbb R$ des nombres réels et $\mathbb C$ des nombres complexes, le nombre $-1$ peut y posséder...
Anneaux d’entiers quadratiques et ramification des nombres premiers
L'anneau des entiers de Gauss \(\mathbb Z[i]\) possède des propriétés remarquables, analogues à celles de l'ensemble \(\mathbb Z\) des nombres entiers relatifs. Il existe toute une famille de tels anneaux, possédant des propriétés similaires, et définis aussi à partir...
Nombres premiers entre eux et inversion modulaire
Deux nombres entiers sont dits premiers entre eux si ils n'ont pas de facteur premier en commun : il sont donc premiers "l'un par rapport à l'autre". Le nombre des restes modulo un entier naturel non nul $n$ qui sont premiers avec $n$ est ce qu'on appelle l'indicateur...
Division euclidienne et arithmétique modulaire
La division des entiers naturels ne donne pas toujours un résultat entier, et la division euclidienne donne une meilleure approximation de ce résultat, sous la forme d'un quotient et d'un reste. On peut définir une addition et une multiplication "modulaires" sur les...
La ramification imaginaire des nombres premiers
Nous savons que les nombres premiers ne demeurent premiers dans l'anneau \(\mathbb Z[i]\) des entiers de Gauss que lorsqu'ils sont sommes de deux carrés. En considérant leurs congruences modulo \(4\), il est possible d'en dire plus : on peut les classer en trois types...
Un algorithme de calcul des racines carrées
En utilisant la somme des premiers nombres impairs dans l'ordre, on peut définir un algorithme simple de calcul des racines carrées des nombres entiers avec une précision décimale arbitraire. 1.Calcul de la somme des \(n\) premiers entiers naturels impairs Il est,...
Plus de réels que de rationnels : un argument diagonal par les bases de numération
Dans cet article, nous abordons la question du "comptage" des nombres réels, autrement dit de la détermination du cardinal de l'ensemble \(\mathbb R\). Celui-ci est strictement supérieur au cardinal de l'ensemble des nombres rationnels, ce que nous expliquons de deux...
L’irrationalité de √2 : une tragédie pythagoricienne
Les tragédies grecques existaient aussi chez les mathématiciens de l'Antiquité. La découverte de la racine carrée du nombre 2 est le sujet de l'une d'entre elles, qui a trouvé une fin heureuse à l'époque moderne. 1.Un disciple de Pythagore "mesure" la diagonale du...
L’espace euclidien : points, vecteurs et produit scalaire
La méthode analytique de Descartes, qui permet de représenter le plan euclidien comme le produit cartésien \(\mathbb R^2\) grâce à la théorie des nombres réels, permet également de représenter l'espace euclidien comme le produit cartésien \(\mathbb R^3=\mathbb...
Les quaternions de Hamilton : un espace-temps algébrique
La multiplication complexe se prolonge naturellement à une multiplication en quatre dimensions, qui définit sur l'espace \(\mathbb R^4\) la structure de l'algèbre \(\mathbb H\) des quaternions de Hamilton. Cette multiplication s'interprète géométriquement à partir du...
Les entiers de Gauss : une arithmétique imaginaire
Les entiers de Gauss sont les nombres complexes à coordonnées entières. Grâce à leur norme, sorte de mesure entière de leur taille, on peut décrire certaines de leurs propriétés arithmétiques. En particulier, on peut effectuer des divisions euclidiennes et déterminer...
Une définition analytique du nombre π par le cosinus
Introduction Lorsque nous avons introduit l'exponentielle circulaire, les fonctions trigonométriques cosinus et sinus ont été définies comme sa partie réelle et sa partie imaginaire. Nous en avons alors tiré les expressions analytiques : \(\cos x=\sum_{n=0}^{+\infty}...
Le théorème d’Euclide : une infinité de nombres premiers
Les nombres entiers naturels premiers sont sont ceux qui n'ont pas d'autres diviseurs que 1 et eux-mêmes. Ils existent en nombre infini par le théorème d'Euclide, qui n'est pas difficile à démontrer. 1.Les nombres premiers Diviseurs et nombres premiers Un nombre...
Qu’est-ce qu’un nombre rationnel ? Des quotients dans un quotient
1.L'intuition des nombres rationnels Les nombres rationnels, c'est-à-dire "fractionnaires", comme \(-\frac 1 2, \frac{27}{4}, \frac{312}{-6783},\ldots\), forment un ensemble intuitif qu'on note \(\mathbb Q\). C'est une extension de l'ensemble \(\mathbb Z\) des nombres...
Qu’est-ce qu’un nombre entier relatif ? Une représentation astucieuse
Les nombres entiers relatifs sont une extension des nombres entiers naturels où l'existence d'une soustraction fournit un cadre mieux approprié à certaines questions d'arithmétique. On peut les décrire de manière axiomatique, mais aussi les construire à partir de...
Qu’est-ce qu’un nombre complexe ? Une approche géométrique simple
Il existe diverses manières de définir les nombres complexes. La plus directe consiste à les regarder comme les points ou les vecteurs du plan. L'addition et la multiplication se définissent alors grâce aux coordonnées. 1. L'ensemble \(\mathbb C\) des nombres...
Qu’est-ce que les nombres entiers naturels ? Définir ou axiomatiser
La science mathématique ne cherche pas à définir les nombres entiers naturels, mais à comprendre l'ensemble qu'ils forment. "Dieu a fait le nombre entier, le reste est l'oeuvre des hommes." Leopold Kronecker 1. On ne définit pas les nombres entiers naturels ! Mais on...
Qu’est-ce qu’un nombre réel ? La formidable construction de Cauchy
Les nombres réels sont toutes les "grandeurs" qu'on peut ordonner, et on peut les "construire" de diverses manières grâce à la théorie des ensembles "Les nombres gouvernent le monde." Pythagore Introduction : les grandeurs irrationnelles Les nombres réels idéalisent...