la Règle et le Compas
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Loi des sinus, aire du triangle et formule de Héron
Introduction Dans Produit scalaire et loi des cosinus, nous avons montré à partir des angles orientés comment l'interprétation trigonométrique du produit scalaire de deux vecteurs conduisait à une généralisation du théorème de Pythagore, la "loi des cosinus" ou...
La construction axiomatique de l’arithmétique naturelle
L'arithmétique naturelle est la science des nombres entiers naturels : elle repose sur l'addition, la multiplication, l'ordre naturel et la divisibilité. Or, toutes ces opérations et relations se définissent à partir de la seule fonction successeur, dont les...
Les bases de l’espace euclidien
Comme dans le plan euclidien $\mathbb R^2$ , il existe dans l'espace euclidien $\mathbb R^3$ une infinité de bases ou "systèmes de représentation" des vecteurs : l'espace étant intuitivement de dimension 3, ces bases sont toujours formées de 3 vecteurs non nuls. La...
Racines carrées dans les corps finis : le cas de -1 et le critère d’Euler
Les corps finis traduisent sur le plan structurel certaines propriétés arithmétiques et servent de "corps de restes" en théorie des nombres. Par analogie avec les corps $\mathbb R$ des nombres réels et $\mathbb C$ des nombres complexes, le nombre $-1$ peut y posséder...
Equations cartésiennes : la description analytique des droites du plan
L'approche analytique de la géométrie plane, que nous devons à Descartes, permet de donner une description purement algébrique des droites du plan comme ensembles de solutions d'équations d'un seul type. Une telle équation, dite cartésienne, contient toute...
Définir l’aire du triangle et du parallélogramme
Dans la géométrie intuitive on définit les aires des figures sans justification ou sans démonstration. Dans la géométrie euclidienne moderne, c'est-à-dire analytique, la définition de l'aire du triangle et du parallélogramme se fondent sur des définitions univoques de...
Loi des cosinus et produit scalaire de deux vecteurs
On rencontre souvent en géométrie et en physique une expression trigonométrique du produit scalaire. A partir d'une définition du cosinus et du sinus d'un angle affine, on peut la démontrer directement grâce aux propriétés élémentaires du produit scalaire. On tire de...
Anneaux d’entiers quadratiques et ramification des nombres premiers
L'anneau des entiers de Gauss \(\mathbb Z[i]\) possède des propriétés remarquables, analogues à celles de l'ensemble \(\mathbb Z\) des nombres entiers relatifs. Il existe toute une famille de tels anneaux, possédant des propriétés similaires, et définis aussi à partir...
Les corps finis : une approche structurelle de l’arithmétique
Les corps sont les anneaux dont tout élément non nul est inversible. Tous les anneaux intègres finis sont des corps, et tous ces corps finis sont commutatifs. Avec un peu d'algèbre commutative, on peut même décrire entièrement tous les corps finis, qui correspondent...
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