Si la mélodie et l’harmonie sont les deux dimensions du tissu musical qu’est le contrepoint, l’harmonie désigne la superposition instantanée des différentes voix, dans une forme de résonance esthétique fondée sur la consonance. Elle s’intéresse ainsi au mouvement coordonné des voix de la pièce musicale, et s’inscrit dans une sélection mélodique qui permet au chant de trouver sa musicalité. Une sélection mélodique de degrés de l’échelle chromatique est une gamme : échelle harmonique, il en existe plusieurs types, dont l’archétype de la musique occidentale est la gamme heptatonique, dont on peut donner une justification mathématique pure reposant sur un simple problème d’optimisation.

La gamme heptatonique fondamentale émerge naturellement du cycle des quintes, et ses renversements sont tous les modes classiques, atmosphères mélodiques différentielles dans lesquels on peut inscrire la mélodie du chant. Les modes ionien et æolien, appelés aussi majeur et mineur, sont au fondement d’une théorie harmonique classique, l’harmonie tonale, dont les principes sont les accords parfaits, majeurs, mineurs et diminués, dits diatoniques à la gamme majeure, et leurs successions caractéristiques appelées cadences. Les cadences, dans les tonalités majeures et mineures, décrivent le rythme harmonique interne du contrepoint, et notamment les mouvements de suspension et de résolution, fondés sur les demi-tons de la gamme, qui donnent leur expressivité à la phrase musicale.

1.Les gammes comme matrices mélodiques et harmoniques

1.1.Les gammes comme sélections de notes dans l’échelle chromatique

Si l’échelle chromatique de la musique tempérée comporte 12 degrés, qui sont autant de notes reproduites de manière cyclique à chaque octave, l’écriture musicale n’emploie en général jamais les 12 notes, sauf dans certaines tentatives de suppression de la tonalité comme la musique atonale ou le dodécaphonisme. La valeur harmonique et la beauté du chant semblent en effet résider dans la sélection de certains degrés de la gamme, sélection qui donne une certaine expressivité et une certaine couleur à la mélodie.

On appelle gamme une sélection de notes de l’échelle chromatique, ordonnée à partir d’une certaine note de base. Ainsi, il existe des gammes pentatoniques comme do-ré-fa-sol-la (avec une connotation extrême-orientale certaine), des gammes à neuf sons (obtenues par extensions d’une tonalité donnée), à six sons… et la gamme chromatique qui comprend les 12 degrés. Mentionnons aussi les gammes liées aux accords de septième diminuée, qui en toute logique devraient contenir 8 degrés, comme empilements de tierces mineures décomposées en ton + demi-ton (par exemple, une gamme de C diminué pourrait être constituée des notes do – ré – mi b – fa – sol b – la b – la – si).

1.2.Exemples de gammes et rôle des tons et demi-tons

La sélection de certains sons établit des intervalles à l’intérieur de la gamme, qui lui confèrent sa couleur mélodique et harmonique. Dans l’exemple de la gamme pentatonique do-ré-fa-sol-la, la tierce mineure entre ré et fa crée un écart caractéristique entre les autres degrés, tous séparés d’un ton. Une autre gamme pentatonique est obtenue à partir du cycle des quintes, la suite do-sol-ré-la-mi par exemple, produisant par renversement sur le ré central la gamme ré-mi-sol-la-do, qui ne contient pas non plus de demi-ton. Tout l’intérêt mélodique de la musique réside pourtant dans la combinaison mélodique et harmonique d’intervalles distincts, dont les plus simples sont le ton et le demi-ton.

Or, le demi-ton se distingue principalement du ton, dans sa fonction mélodique et harmonique, en ce qu’il appelle une « résolution », c’est-à-dire la conclusion d’une phrase musicale. Ainsi dans la gamme majeure usuelle, do-ré-mi-fa-sol-la-si-do, le demi-ton entre si et do introduit une « tension », qui appelle à conclure la mélodie par ce qu’on appelle en harmonie tonale une cadence dite parfaite, c’est-à-dire la suite des accords Sol majeur-Do majeur. Le demi-ton entre deux degrés introduit une forme d’instabilité, qui permet de distinguer des moments distincts de la phrase musicale.

2.La gamme heptatonique comme résolution mathématique d’un problème mélodique

2.1.Le choix mathématique d’une meilleure gamme pour la mélodie et l’harmonie

Tous les intervalles chromatiques se composant de tons et de demi-tons, si nous voulons obtenir le maximum d’expressivité tout en conservant une sélection minimale de sons qui ne réduit pas la mélodie à la dégénérescence du chromatisme pur, nous devons résoudre un problème mathématique. Celui-ci consiste à choisir $n$ degrés parmi les $12$ de l’échelle chromatique, en veillant à ce qu’il n’y ait ni seulement des tons, ni non plus seulement des demi-tons. Appelons alors $a$ le nombre de tons et $b$ le nombre de demi-tons de la gamme parfaite que nous recherchons : nous cherchons donc $n$ minimal, de la forme $n=a+b$ avec $a,b>0$ et tels que $2a+b=12,$ ce qui traduit la condition que la superposition de $a$ tons et de $b$ demi-tons forme un octave, c’est-à-dire douze demi-tons.

2.2.Le choix du nombre 7 comme résolution d’un problème d’optimisation

Ces conditions impliquent que $b=n-a,$ d’où $2a+n-a=12$ ou encore $n+a=12.$ Avec les exigences que $a,b>0,$ la première solution — c’est -à-dire avec $n$ minimal — est donnée pour $n=7,$ ce qui nous amène à considérer la gamme heptatonique comme la base syntonique — c’est-à-dire ici à la fois mélodique et harmonique — par excellence, de la musique chromatique.

Remarquons que ce nombre intervient également dans le cycle des quintes, où $12$ quintes successives couvrent approximativement $7$ octaves : dans un sens, la gamme heptatonique est une réduction du cycle harmonique complet à l’échelle de l’octave, qui consisterait à choisir un degré de l’échelle chromatique par octave parcouru. Or, la solution que fournit la gamme heptatonique, c’est-à-dire constituée de $7$ sons parmi $12,$ ne nous laisse que la possibilité où $a=12-n=12-7=5,$ et donc aussi $b=n-a=7-5=2.$ Quelle que soit la sélection des notes, les intervalles doivent y être formés sur une succession comprenant $5$ tons et $2$ demi-tons.

3.La gamme heptatonique naturelle

3.1.Gammes heptatoniques du cycle des quintes

Notre choix optimal d’une gamme qui conserve la plus grande variabilité mélodique tout en permettant le contraste entre tensions et mouvements mélodiques est donc celui de sept notes parmi les douze degrés de l’échelle chromatique. Ces notes sont distribuées selon des intervalles composés à partir de $5$ tons et $2$ demi-tons, mais nous ne les avons pas encore choisies. Or, puisque l’échelle chromatique est essentiellement générée par la superposition des quintes, la quinte étant le premier intervalle non trivial, c’est encore dans l’intervalle de quinte que nous cherchons la « proximité » harmonique des sons qui doivent composer notre gamme.

Plusieurs solutions sont ici possibles pour décrire la gamme heptatonique première du cycle des quintes, nous retenons comme modèle celle qui ne présente pas d’altération dans la notation usuelle, à savoir la progression connexe : fa – do – sol – ré – la – mi – si. Cette progression est obtenue par superposition de six quintes, soit la moitié des douze du cycle, en remarquant que cette gamme devrait se refermer cycliquement non sur une quinte, mais sur un intervalle de triton : si – fa.

3.2.La gamme heptatonique fondamentale est « hypermineure »

On reconnaît dans cette sélection de notes la gamme naturelle do-ré-mi-fa-sol-la-si-do, appelée majeure pour des raisons liées à l’harmonie tonale, et qu’on obtient par renversement des notes pour les réaliser dans l’intervalle d’un même octave. Dans cette présentation de la gamme, on répète la première note, ce qui permet de la décomposer en deux « tétracordes », c’est-à-dire deux ensembles de quatre notes de structure identique (2 tons et 1 demi-ton) : do-ré-mi-fa, puis sol-la-si-do, dits aussi majeurs.

Ceci étant dit, le centre de la gamme heptatonique ainsi générée n’est pas le do, note fondamentale de la gamme de do majeur ou « tonique », mais la note ré, à partir de laquelle la gamme heptatonique s’interprète par degrés de proximité successifs : au premier degré, on lui ajoute le sol et le la (écart d’une quinte), au seconde degré le do et le mi (écart de deux quintes), au troisième degré le fa et le si (écart de trois quintes).

Ainsi, sur le plan mélodique la gamme heptatonique fondamentale est centrée sur le ré, et devrait sans doute être renversée sous la forme : ré-mi-fa-sol-la-si-do-ré. Cette gamme, appelée ré dorien selon les anciens modes ecclésiastiques est elle-même constituée de deux tétracordes, à nouveau de structure identiques, et dits mineurs (1 ton, 1 demi-ton et 1 ton) : ré-mi-fa-sol, puis la-si-do-ré.

3.3.Les modes naturels comme renversements de la gamme heptatonique fondamentale

On connaît depuis l’Antiquité autant de gammes heptatoniques différentes que de degrés d’une gamme fondamentale, obtenues par différents renversements qu’on appelle modes. Chaque mode, par son organisation particulière des tons et demi-tons qui en échelonnent les degrés, possède ainsi une « ambiance » caractéristique, qui donne une couleur particulière aux mélodies et à la musique qu’on y écrit. Ces modes naturels étaient nommés dans l’Antiquité en fonction de lieux de la Grèce où ils étaient caractéristiques, et furent beaucoup utilisés au Moyen-Âge dans la musique ecclésiastique, lui donnant son caractère reconnaissable. Renommés d’après les mêmes termes mais différemment à la suite d’un contresens, voici tous les modes de la gamme heptatonique naturelle selon la terminologie médiévale, dans la tonalité de do majeur :

• Dorien : ré-mi-fa-sol-la-si-do(-ré)
• Phrygien : mi-fa-sol-la-si-do-ré(-mi)
• Lydien : fa-sol-la-si-do-ré-mi(-fa)
• Mixolydien : sol-la-si-do-ré-mi-fa(-sol)
• Æolien (mineur) : la-si-do-ré-mi-fa-sol(-la)
• Locrien : si-do-ré-mi-fa-sol-la(-si)
• Ionien (majeur) : do-ré-mi-fa-sol-la-si(-do)

Chacun de ces modes se décompose également en deux tétracordes, qui les caractérisent. Le premier tétracorde des modes Dorien et Æolien est mineur, celui des modes Mixolydien et Ionien est majeur. Le mode Dorien est formé de la superposition de deux tétracordes mineurs, le mode Ionien de celle de deux tétracordes majeurs.

4.Principes d’harmonie tonale : accords parfaits et cadences

4.1.Le majeur comme mode stable de référence et la musique tonale

Parmi les sept modes ecclésiastiques fondamentaux, la musique classique a retenu les modes Ionien (dit aussi majeur) et Æolien (dit aussi mineur), pour des raisons ayant trait à l’harmonie, c’est-à-dire à la progression synchronique de l’environnement musical de la mélodie. Dans la gamme majeure, la dernière note (le si pour do majeur) est à distance d’un demi-ton de l’octave, c’est-à-dire de la première note d’un point de vue cyclique (le do pour do majeur). Le mode ionien est le seul possédant à la fois cette propriété — partagée par le lydien — et dont les tétracordes sont identiques, ce qui lui donne une clarté et une régularité uniques, avec le principe d’une résolution harmonique sur sa dernière note.

Ainsi naît la musique tonale, où la gamme majeure sert de référence, parce qu’elle permet d’inscrire la phrase musicale dans des cadences, progressions harmoniques typiques du mode Ionien. L’expressivité musicale y trouve un lieu naturel stable parce qu’elle peut s’appuyer sur les deux phénomènes de suspension et de résolution, là où les autres modes tendent à l’instabilité et à l’ambiguïté, ce qui leur confère cependant une plasticité musicale intéressante, à laquelle nous reviendrons.

4.2.Accords parfaits majeurs, mineurs et diminués

Les cadences du mode majeur, phrasés harmoniques typiques de la musique tonale, sont des suites d’accords. Les accords sont eux-mêmes des superpositions d’au moins trois notes, là où les intervalles n’en juxtaposent que deux. En effet, trois notes suffisent, dans un accord dit parfait, à déterminer d’une part entièrement une tonalité, majeure ou mineure, d’autre part une fonction de la gamme, c’est-à-dire un environnement harmonique sur une note de base, avec ses potentialités spécifiques.

Les accords parfaits sont formés de l’empilement de tierces : une tierce majeure + une tierce mineure forment un accord majeur (do majeur = do-mi-sol, fa majeur = fa-la-do et sol majeur = sol-si-ré pour do majeur), une tierce mineure + une tierce majeure forment un accord mineur (ré mineur = ré-fa-la, mi mineur = mi-sol-si, la mineur = la-do-mi pour do majeur), deux tierces mineures forment un accord diminué (si diminué = si-ré-fa pour do majeur). Indépendamment donc des modes construits sur chaque degré de la gamme majeure, les fonctions tonales se répartissent selon ces trois catégories, assurant la flexibilité du système par modulations, qui sont des changements de tonalités s’appuyant sur des accords communs.

4.3.Cadences typiques de l’harmonie majeure

Les fonctions de l’harmonie tonale majeure sont numérotées selon les degrés : I (tonique), IV (sous-dominante), et V (dominante) sont majeures, II (sus-tonique), III (médiante), VI (sus-dominante) sont mineures et VII (sensible) est diminuée. Ainsi les cadences de la musique tonale sont définies comme successions de fonctions harmoniques. La cadence dite parfaite consiste en la succession des fonctions (IV,) V et I : c’est l’archétype d’un mouvement de résolution, puisque l’accord majeur du degré V contient la note sensible comme seconde note (le 7e degré de la gamme) qui se résout sur la première note de l’accord majeur du degré I, laquelle fixe la tonalité (le 1er degré de la gamme ou tonique). On dit que la cadence parfaite est conclusive; par exemple, dans la tonalité de do majeur elle est constituée de la succession des accords (Fa majeur,) Sol majeur et Do majeur.

La cadence dite plagale consiste en la succession des fonctions IV et I : c’est l’archétype d’un mouvement de suspension suivi d’une résolution douce, puisque l’accord majeur du degré IV, dit de sous-dominante, prépare et oriente vers la tonique sans produire la tension maximale propre à la fonction dominante. La résolution s’opère bien sur la tonique, mais sans l’appel explicite de la sensible, ce qui confère à cette cadence un caractère conclusif affaibli, souvent perçu comme une détente ou un apaisement plutôt que comme une résolution franche. Par exemple, dans la tonalité de do majeur, la cadence plagale est la succession des accords Fa majeur et Do majeur : le premier établit un environnement harmonique semi-stable, tandis que le retour sur la tonique confirme la tonalité sans passer par l’instabilité caractéristique de la fonction V.

On peut également considérer la succession inverse, I–IV, comme une autre forme de suspension harmonique. Dans ce cas, la stabilité maximale de la tonique est quittée au profit d’une fonction semi-stable, ce qui introduit une ouverture ou un déplacement du centre tonal sans produire de véritable instabilité. Ce mouvement est soutenu par un demi-ton mélodique caractéristique, par exemple mi–fa en do majeur, analogue par sa structure au mouvement de la sensible, mais dépourvu de son caractère téléologique. La succession I–IV ne constitue donc pas une résolution, mais une suspension douce par désancrage de la tonique, préparant soit un retour ultérieur sur celle-ci, soit une progression vers une fonction plus instable.

4.4.Le mode mineur comme relatif au mode majeur

Dans l’harmonie tonale, les accords parfaits majeurs et mineurs déterminent la structure du système. Cela provient de ce que l’empilement des tierces majeures et mineures successives fournit l’entrelacement des degrés fondamentaux du mode majeur, l’accord de tonique étant placé au centre. Par exemple, dans la tonalité de do majeur les tierces majeures et mineures se rangent dans l’ordre suivant : fa – la – do- mi – sol -si – ré, où le premier accord de F majeur (fa-la-do, degré IV) termine sur la base du second accord de C majeur (do-mi-sol, degré I), lequel termine sur la base du troisième accord de G majeur (sol-si-ré, degré V). C’est la seule manière d’organiser les sept notes de la gamme comme successions de tierces majeures et mineures, comme la suite fa – do – sol – ré – la – mi – si est la seule manière de les organiser comme successions de quintes.

Mais on peut aussi organiser ces notes comme successions alternées de tierces mineures et majeures, et la seule solution est : ré – fa – la – do – mi – sol – si. Dans cette configuration, on a trois accords mineurs entrelacés : D mineur (ré – fa – la), A mineur (la – do – mi) et E mineur (mi – sol – si), et on observe que la note centrale est do, là où la note centrale de la série majeure est mi. Ainsi, c’est le mode majeur, fondé sur la note do comme tonique et qui réapparaît comme centre de l’organisation mineure, qui sert de référence absolue dans l’harmonie tonale. Le mode mineur qui lui est associé est alors appelé relatif; par exemple, la tonalité mineure relative à C majeur est A mineur.

4.5.Cadences mineures et modification du mode

Les modes majeur et mineur présentent ainsi une régularité fondamentale dans le système tonal, qui intègre donc des tonalités à la fois majeures et mineures. Les cadences existent aussi en mode mineur, mais la succession (IV,) V, I présent un défaut majeur : le septième degré de la gamme mineur n’est pas une note sensible, et la cadence parfaite n’est alors plus conclusive. Pour cette raison, les musiciens de la période classique ont transformé le mode mineur en élevant son septième degré d’un demi-ton : la gamme obtenue est un mode « synthétique », le mineur harmonique dont la cadence parfaite apporte une résolution sur la tonique. Par exemple, alors que la gamme de A mineur est constituée des notes la – si – do – ré – mi – fa – sol, la gamme de A mineur harmonique est constituée des notes la – si – do – ré – mi – fa – sol# : elle emprunte donc une note étrangère de l’échelle chromatique, qui donne à l’harmonie mineure son ambiance caractéristique.