Les coniques — cercles, ellipses, hyperboles et paraboles — figurent parmi les courbes fondamentales de la géométrie. Introduites dans l’Antiquité comme sections d’un cône par un plan, elles trouvent avec la géométrie analytique une formulation algébrique : ce sont exactement les courbes définies par une équation polynomiale du second degré en deux variables.

Cette approche moderne révèle que leur étude est essentiellement celle des formes quadratiques, dont elles traduisent la géométrie. Centre, axes de symétrie, directions propres, équations réduites, asymptotes ou sommet apparaissent alors comme des conséquences naturelles des propriétés algébriques de ces formes.

Dans cet article, nous développons cette approche analytique à partir d’exemples suivis d’une ellipse, d’une hyperbole et d’une parabole, afin de montrer comment une même méthode permet de retrouver progressivement toute la géométrie classique des coniques.

1.Définition analytique des coniques

1.1.De la définition géométrique antique à la définition analytique

Au temps d’Apollonius de Perge, mathématicien grec antique qui a écrit un traité fondamental sur le sujet et fixé la terminologie, les coniques avaient été identifiées comme courbes obtenues à partir d’une section d’un cône par un plan.

La méthode analytique de la géométrie moderne, travaillant par coordonnées, permet de les définir comme courbes planes, c’est-à-dire ici comme sous-ensembles du plan euclidien $\mathbb R^2$ définis par une équation.

Autrement dit, si la notion de courbe implicite considérée ici est celle d’un ensemble de la forme $\{(x,y)\in\mathbb R^2 : F(x,y)=0\}$ pour $F:\mathbb R^2\to \mathbb R$ une fonction numérique, la notion de conique est redéfinie comme suit :

Définition 1
Une conique est une courbe $C$ du plan euclidien $\mathbb R^2$ formée de toutes les solutions $(x,y)$ d’une équation de la forme $ax^2+2bxy+cy^2+dx+ey+f=0,$ où $a,b,c,d,e,f$ sont des nombres réels, et où $a,b,c$ ne sont pas tous les trois nuls.

Autrement dit, les coniques sont simplement les ensembles de solutions des équations du type $P(x,y)=0$ où $P$ est un polynôme du second degré en deux variables $X,Y.$ Plus généralement, l’étude des coniques est donc devenue celle de la géométrie des formes quadratiques, c’est-à-dire des fonctions de la forme $(x,y)\in\mathbb R^2\mapsto P(x,y)$.

Exemple 1
i) L’ensemble des points $(x,y)$ du plan tels que $(x-1)^2+(y+2)^2=3$ est une conique, le cercle de centre $(1,-2)$ et de rayon $\sqrt 3$.
ii) L’ensemble des points $(x,y)$ du plan tels que $2x^2+2xy+5y^2−8x+6y−7=0$ est une ellipse.
iii) L’ensemble des points $(x,y)$ du plan tels que $3x^2+4xy−y^2+10x−6y−8=0$ est une hyperbole.
iv) L’ensemble des points $(x,y)$ du plan tels que $x^2+2xy+y^2−6x+2y−3=0$ est une parabole.

1.2.Transformation standard de l’équation générique d’une conique

Dans une expression polynomiale de la forme $ax^2+2bxy+cy^2+dx+ey+f$ où l’un des coefficients $a,b,c$ est non nul, on distingue trois parties, selon le degré des monômes :
i) Une partie dite quadratique, l’expression $ax^2+2bxy+cy^2,$ de degré $2$
ii) Une partie dite linéaire, l’expression $dx+ey,$ de degré $1$
iii) Une constante $f.$

Ainsi, en posant $Q(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2, L(x,y)=dx+ey$ et $k=-f,$ la conique définie par l’équation $ax^2+2bxy+cy^2+dx+ey+f=0$ peut se décrire sous une autre forme, c’est-à-dire ici comme l’ensemble des points $(x,y)$ du plan tels que $Q(x,y)+L(x,y)=k.$

Cette forme permet alors d’étudier les coniques et de les classer en distinguant les propriétés des fonctions $Q$ et $L$, ce qui n’apparaît pas immédiatement dans les exemples sauvages proposés à l’exemple 1.

2.Formes quadratiques et coniques à centre

2.1.Coniques symétriques par rapport à l’origine

Lorsque la forme linéaire $L$ est nulle, c’est-à-dire ici lorsque les coefficients $d,e$ sont nuls, l’équation définissant la conique $C$ se ramène à $Q(x,y)=k,$ de sorte que pour tout $(x,y)\in C,$ puisqu’on a $k=Q(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2=a(-x)^2+2b(-x)(-y)+c(-y)^2,$ on a aussi $(-x,-y)\in C$. Autrement dit, si $L$ est nulle l’origine $O=(0,0)$ est centre de symétrie de $C.$

Exemple 2
i) Pour tout nombre réel $R>0,$ le cercle de centre $O$ et de rayon $\sqrt R$ est l’ensemble des points du plan d’équation $x^2+y^2=R.$ C’est une conique dont la fonction de définition $(x,y)\mapsto x^2+y^2-R$ est de partie linéaire nulle, donc $O$ est centre de symétrie, ce qu’on vérifie directement.
ii) Pour tous nombres réels $a,b$ non nuls et tout nombre réel $R>0,$ la conique d’équation $(x/a)^2+(y/b)^2=R$ a l’origine pour centre de symétrie. Il s’agit d’une ellipse.
iii) Pour tous nombres réels $a,b$ non nuls et tout nombre réel $R>0,$ la conique d’équation $(x/a)^2-(y/a)^2=R$ a l’origine pour centre de symétrie. Il s’agit d’une hyperbole.
iv) Pour tout nombre réel $r>0,$ la conique d’équation $xy=r$ est aussi une hyperbole dont l’origine est centre de symétrie.

2.2.Formes quadratiques non dégénérées

En général, en notant $u=(x,y)$ on peut associer à la fonction $Q(u)=ax^2+2bxy+cy^2$, appelée forme quadratique, une unique fonction $B:\mathbb R^2\times\mathbb R^2\to \mathbb R,$ linéaire en chaque variable, et telle que pour tout vecteur $u\in\mathbb R^2$ on a $Q(u)=B(u,u).$ Cette fonction, appelée forme bilinéaire symétrique associée, est entièrement déterminée par l’expression $B(u,v)=(1/2)(Q(u+v)-Q(u)-Q(v))$ pour tous $u,v\in\mathbb R^2.$

Les formes quadratiques, et leurs formes bilinéaires symétriques associées, sont des généralisations du produit scalaire euclidien, ici donné par l’expression analytique $u\cdot v=ac+bd$ pour tous vecteur $u=(a,b),v=(c,d)$ du plan, forme bilinéaire symétrique associée à la forme quadratique $N:u=(x,y)\in\mathbb R^2\mapsto x^2+y^2,$ le carré de la norme du vecteur $u$ (on vérifie que $(1/2)(N(u+v)-N(u)-N(v))=xx’+yy’=u\cdot v,$ avec $u=(x,y)$ et $v=(x’,y’)$).

Elles définissent ainsi une forme de géométrie euclidienne sur l’espace $\mathbb R^2,$ on l’on dira que deux vecteurs $u,v$ sont orthogonaux pour la forme quadratique $Q$ si $B(u,v)=0$. On appelle alors noyau de $Q$ l’ensemble des vecteurs $u$ du plan tels que $B(u,v)=0$ pour tout vecteur $v,$ autrement dit tels que $Q(u+v)=Q(u)+Q(v)$ pour tous vecteurs $v$.

Définition 2
On dit que la forme quadratique $Q$ est non dégénérée si son noyau est réduit au vecteur nul, c’est-à-dire à l’ensemble ${(0,0)}.$

On démontre alors, comme pour le produit scalaire naturel, que si $Q$ est non dégénérée, pour toute forme linéaire $f:\mathbb R^2\to \mathbb R$ il existe un unique vecteur $u_0\in \mathbb R^2$ tel que pour tout $u\in \mathbb R^2$ on a $f(u)=B(u,u_0).$

2.3.Déterminant d’une forme quadratique

A partir de ses valeurs sur les vecteurs de base, la forme bilinéaire symétrique $B$ associée à une forme quadratique $Q$ possède une représentation analytique sous la forme $B(u,v)=axs+b(xt+ys)+cyt,$ pour $u=(x,y)$ et $v=(s,t).$

On définit alors le déterminant de $Q$ comme la quantité associée à la représentation de $B$ par $det(Q)=det((B(i,i),B(i,j)),(B(j,i),B(j,j)))=ac-b^2$, où $i=(1,0)$ et $j=(0,1)$ sont les vecteurs de la base canonique du plan, et on démontre que la forme $Q$ est non dégénérée si et seulement si $det(Q)$ est non nul.

2.4.Coniques à centre

Dans le cas général où la forme quadratique $Q$ est non dégénérée, il existe donc un vecteur $u_0=(x_0,y_0)$ du plan tel que pour tout vecteur $u=(x,y),$ on a $2B(u,u_0)=-L(u)$, de sorte que $Q(u)+L(u)=k$ si et seulement si $Q(u)-2B(u,u_0)=k$, si et seulement si $Q(u-u_0)=k+Q(u_0)$ (puisque $Q(u)-2B(u,u_0)=Q(u)+2B(u,-u_0)$ (par linéarité de $B$ dans sa deuxième composante) $=Q(u)+Q(u-u_0)-Q(u)-Q(u_0)$ (par définition de $B$) $=Q(u-u_0)-Q(u_0)$).

Si on pose alors $O’:=O+u_0$ et $k’:=k+Q(u_0)$, la conique $C$ d’équation $Q(u)+L(u)=k$ est aussi l’ensemble des points $M=(x,y)$ du plan tels que $Q(\overrightarrow{O’M})=k’$. Autrement dit, quitte à changer d’origine, c’est-à-dire à faire une translation de vecteur $u_0$, on peut se ramener au cas où la forme linéaire $L$ est nulle, que nous avons déjà analysé.

2.5.Détermination analytique du centre

Dans la pratique, la détermination du centre $O’$ de la conique se fait donc à partir des considérations précédentes, au sens où l’on peut identifier le vecteur $u_0$ tel que $O’=O+u_0=u_0$ de la manière suivante.

On considère la fonction $F:(x,y)\in\mathbb R^2\mapsto Q(x,y)+L(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2+ex+fy$, de sorte que la conique $C$ a pour équation $F(x,y)=k$.

Par définition de la forme bilinéaire symétrique $B$ associée à $Q,$ pour tous $u=(x,y)$ et $v=(s,t)$, on a $2B(u,v)=2B((x,y),(s,t))=Q(x+s,y+t)-Q(x,y)-Q(s,t)=(2as+2bt)x+(2bs+2ct)y,$ en développant à partir de l’expression générique de $Q(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2.$

Par définition de $u_0:=(p,q)$, pour tout $u=(x,y)$ on a alors $0=2B(u,u_0)+L(u)=2B((x,y),(p,q))+L(x,y)=(2ap+2bq)x+(2bp+2cq)y+ex+fy$, de sorte qu’en particulier $(p,q)$ est solution du système
$$(S) \left\{\begin{array}{cc} 2ap+2bq&=&-e\\2bp+2cq&=&-f\end{array}\right.$$

Or, puisque la forme quadratique $Q$ est non dégénérée, son déterminant $det(Q)=ac-b^2$ est non nul, de sorte que le système $(S)$ possède une unique solution, qui est donc le couple $(p,q)$ de coordonnées du centre $O’=u_0$ de la conique $C$.

Un calcul par substitution fournit alors la solution $$O’=u_0=(p,q)=\left(\dfrac{bf-ce}{2(ac-b^2)},\dfrac{be-af}{2(ac-b^2)}\right).$$

Exemple 3
i) Le centre $O’=(p,q)$ de l’ellipse de l’exemple 1, d’équation $2x^2+2xy+5y^2−8x+6y−7=0$, vérifie les équations $4p+2q=8$ et $2p+10q=-6$, d’où $O’=(23/9,-10/9)$.
ii) Le centre $O’=(p,q)$ de l’hyperbole de l’exemple 1, d’équation $3x^2+4xy−y^2+10x−6y−8=0$, vérifie les équations $6p+4q=-10$ et $4p-2q=6$, d’où $O’=(1/7,-19/7)$.

Remarquons enfin que pour tout point $(x,y)$, il vient $$\left\{\begin{array}{ll} F’_x(x,y):=\dfrac{\partial F}{\partial x}(x,y)=2ax+2by+e\\F’_y(x,y):=\dfrac{\partial F}{\partial y}(x,y)=2cy+2bx+f,\end{array}\right.$$ de sorte que la solution du système $(S)$ est dans ce cas l’unique point $(p,q)$ du plan tel que $F’_x(p,q)=0=F’_y(p,q)$.

3.Réduction orthogonale des coniques non dégénérées

3.1.Coniques non dégénérées centrées en l’origine

Par la discussion de la section 2, lorsque la forme quadratique $Q$ de la conique $C$ est non dégénérée, on peut, quitte à faire un changement de repère, se placer dans le cas où $C$ a l’origine $O=(0,0)$ du plan euclidien pour centre.

Dans ce cas, l’équation de $C$ se simplifie sous la forme : $Q(u)=k$, autrement dit $ax^2+2bxy+cy^2=k$, avec ici $det(Q)=ac-b^2\neq 0$.

La forme bilinéaire symétrique $B$ associée à $Q$ définit elle-même un endomorphisme du plan, c’est-à-dire une application linéaire $\phi:(x,y)\in\mathbb R^2\mapsto (ax+by,bx+cy)\in\mathbb R^2$, puisque $B(i,i)=a,B(i,j)=B(j,i)=b$ et $B(j,j)=c$, et pour tout vecteur $u=(x,y)\in\mathbb R^2$ on a $Q(u)=ax^2+2bxy+cy^2=(ax+by,bx+cy)\cdot (x,y) =\phi(u)\cdot u$.

On dit que $\phi$ est symétrique, c’est-à-dire que pour tous vecteurs $u,v$ on a $\phi(u)\cdot v=u\cdot \phi(v)$, ce qu’on vérifie immédiatement par le calcul.

Il existe alors deux vecteurs $u_1,u_2$ formant une base orthonormée de $\mathbb R^2$ et pour lesquels il existe $\lambda_1,\lambda_2\in \mathbb R$ tels que $\phi(u_1)=\lambda_1.u_1$ et $\phi(u_2)=\lambda_2.u_2$ : on dit que $u_1,u_2$ sont des vecteurs propres de $\phi$ pour les valeurs propres $\lambda_1,\lambda_2$.

Exemple 4
i) Le centre $O’$ de l’ellipse d’équation $2x^2+2xy+5y^2−8x+6y−7=0$ étant $O’=(23/9,-10/9)$, par une translation obtenue en posant $x=X+23/9$ et $y=Y-10/9$, on se ramène à une conique centrée en l’origine et d’équation $2X^2+2XY+5Y^2=145/9$.
ii) le centre $O’$ de l’hyperbole d’équation $3×2+4xy−y2+10x−6y−8=0$ étant $O’=(1/7,-19/7)$, par une translation obtenue en posant $x=X+1/7$ et $y=Y-19/7$, on se ramène à une conique centrée en l’origine et d’équation $3X^2+4XY−Y^2=−1/7​$.

3.2.Recherche d’une base orthonormée de vecteurs propres de $\phi$

En effet, cherchons les directions propres de $\phi$, autrement dit les vecteurs non nuls $u$ pour lesquels $\phi(u)$ est colinéaire à $u$ (intuitivement, la force induite par le champ d’énergie $Q$ en $u$ s’exerce dans la direction de $u$).

Il s’agit donc, en changeant de point de vue, de trouver les nombres réels $\lambda$ pour lesquels il existe un vecteur non nul $u$ tel que $\phi(u)=\lambda.u$.

Cela équivaut à l’existence d’un vecteur non nul $u$ pour lequel $(\phi-\lambda.Id)(u)=0$, autrement dit tel que l’endomorphisme $\phi-\lambda.Id$ n’est pas injectif.

Or par définition on a, pour tout $u=(x,y)$, $(\phi-\lambda.Id)(u)=((a-\lambda)x+by,bx+(c-\lambda)y)$, de sorte que $\phi-\lambda.Id$ n’est pas injectif si et seulement sit $det(\phi-\lambda.Id)=\lambda^2-\lambda(a+c)+(ac-b^2)=0$, autrement dit si et seulement si $\lambda$ est solution de l’équation caractéristique $P(X)=0$, où $P=X^2-(a+c)X+(ac-b^2)$ est appelé polynôme caractéristique de $\phi$.

On cherche donc ici les racines de $P$, polynôme quadratique dont le discriminant vaut $\Delta=(a+c)^2-4(ac-b^2)=(a-c)^2+4b^2\geq 0$, et qui possède donc deux racines réelles, éventuellement identiques, $\lambda_1=\frac{a+c+\sqrt{\Delta}}{2},\lambda_2=\frac{a+c-\sqrt\Delta}{2}$.

Par définition, il existe alors des vecteurs non nuls $u_1,u_2$, qu’on peut choisir unitaires, tels que $\phi(u_1)=\lambda_1.u_1$ et $\phi(u_2)=\lambda_2.u_2$. Remarquons que $\lambda_1,\lambda_2\neq 0$, sinon on a $a+c=\pm\sqrt \Delta$, donc $(a+c)^2=\Delta$ et $ac-b^2=0$, ce qui est exclu par hypothèse.

Distinguons deux cas.

• Si $\lambda_1=\lambda_2$, autrement dit si $\Delta=0$, on a $a=c$ et $b=0$, donc $\phi(u)=a.u$ pour tout $u$ et $a=\lambda_1=\lambda_2$, donc on peut toujours supposer que $(u_1,u_2)$ est une base orthonormée, puisque toute base orthonormée $(u_1,u_2)$ convient
• Mais si $\lambda_1\neq\lambda_2$, puisque l’endomorphisme $\phi$ est symétrique (autrement dit pour tous vecteurs $u,v$ on a $\phi(u)\cdot v=u\cdot \phi(v)$), il vient $\lambda_1.(u_1\cdot u_2)=\phi(u_1)\cdot u_2=u_1\cdot \phi(u_2)=\lambda_2.(u_1\cdot u_2)$, d’où $u_1\cdot u_2=0$, et $u_1,u_2$ sont orthogonaux et forment donc une base orthonormée du plan.

Exemple 5
i) Dans l’ellipse centrée d’équation $2X^2+2XY+5Y^2=145/9$, les valeurs propres de $Q$ sont les racines de $P(\lambda)=\lambda^2-7\lambda+9$, soit $\lambda_1=(7-\sqrt{13})/2$ et $\lambda_2=(7+\sqrt{13})/2$. Les directions propres sont alors données par $u_1=(1,(3-\sqrt{13})/2)$ et $u_2=(1,(3+\sqrt{13})/2)$. Dans cette base, l’équation de la conique devient $(7-\sqrt{13})U^2/2+(7+\sqrt{13})V^2/2=145/9$.
ii) Dans l’hyperbole centrée d’équation $3X^2+4XY−Y^2=−1/7​$, les valeurs propres de $Q$ sont les racines de $P(\lambda)=\lambda^2-2\lambda-7$, soit $\lambda_1=1-2\sqrt 2$ et $\lambda_2=1+2\sqrt 2$. Les directions propres sont alors données par $u_1=(1,-1-\sqrt 2)$ et $u_2=(1,\sqrt 2-1)$. Dans cette base, l’équation de la conique devient $(1-2\sqrt 2)U^2+(1+2\sqrt 2​)V^2=-1/7$.

3.3.Interprétation physico-géométrique de l’étude des coniques

La forme quadratique $Q$ introduite dans l’analyse des coniques à centre peut être conçue de manière dynamique comme une énergie potentielle distribuée sur le plan euclidien $\mathbb R^2$, autrement dit un « champ scalaire quadratique », ou encore une fonction $Q:\mathbb R^2\to \mathbb R$ vérifiant la propriété suivante : pour tout $u=(x,y)\in\mathbb R^2$ et pour tout $\lambda\in\mathbb R$, on a $Q(\lambda .u)=\lambda^2.Q(u)$.

A partir d’une telle fonction on retrouve une forme bilinéaire symétrique $B:\mathbb R^2\times\mathbb R^2\to \mathbb R$, définie par $B(u,v):=(1/2).(Q(u+v)-Q(u)-Q(v))$ pour tous $u,v\in\mathbb R^2$. En rappelant que $i=(1,0)$ et $j=(0,1)$ sont les vecteurs de la base canonique, on a alors, par bilinéarité de $B$ et pour tout $u=(x,y)\in\mathbb R^2$, $Q(u)=B(u,u)=B(x.i+y.j)=x^2.B(i,i)+2xy.B(i,j)+y^12.B(j,j)=ax^2+2bxy+cy^2$ pour $a=B(i,i),b=B(i,j)=B(j,i)$ et $c=B(j,j)$, restitution d’une expression polynomiale de $Q$.

De ce point de vue, l’énergie potentielle $Q$ est appliquée comme quantité, positive ou négative, en chaque point $(x,y)$ du plan où elle s’applique, à partir de l’origine comme centre. Elle définit ainsi en quelque sorte un champ de forces, donné en chaque point $(x,y)$ par l’opposé de son gradient, ici $F=-\nabla Q=-(\dfrac{\partial Q}{\partial x},\dfrac{\partial Q}{\partial y})=(-2ax-2by,-2bx-2cy)$. Ce champ de forces est linéaire, et s’exprime alors en tout point du plan à partir de la transformation symétrique $\phi:(x,y)\mapsto (ax+by,bx+cy)$ sous la forme $F=-2\phi$, de sorte qu’on a aussi $Q(u)=\phi(u)\cdot u$ pour tout $u\in\mathbb R^2$.

La fonction $\phi$, endomorphisme associé à la forme $Q$, donne donc la direction du mouvement induit par $Q$, et les coniques d’équation $Q(u)=k$ s’interprètent comme lignes de niveau du champ d’énergie $Q$, autrement dit comme ensembles de points de même énergie $k$. Pour chaque nombre réel $k$, et pour chaque point $(x,y)$ de la conique $C_k$ d’équation $Q(u)=k$, la direction de la force $F$ appliquée en $(x,y)$ est alors orthogonale à la conique $C_k$ et indique la direction de variation maximale de $Q$ en $(x,y)$.

4.Etude des coniques non dégénérées

4.1.Coniques non dégénérées : cas triviaux

Avec les mêmes conventions et notations, supposons que $\lambda_1=\lambda_2$ : puisque $\phi$ n’est pas nul, on a $\lambda_1=a\neq 0$, et pour tout vecteur $u$ on a alors $\phi(u)=\lambda_1 u$ et donc $Q(u)=\phi(u)\cdot u=\lambda_1.||u||^2$, donc l’équation de $C$ devient $x^2+y^2=k/\lambda_1$. Dans ce cas soit $C=\emptyset$ (si $k/\lambda_1<0$), soit $C$ ne contient que l’origine (si $k=0$), soit $C$ est un cercle de centre $O$ et de rayon $\sqrt{k/\lambda_1}$ (si $k/\lambda_1>0$).

Supposons que $\lambda_1\neq\lambda_2$ : comme la base $(u_1,u_2)$ est orthonormée, on a alors, pour tout $u=x_1u_1+x_2u_2$, $Q(u)=Q(x_1u_1+x_2u_2)=\phi(x_1u_1+x_2u_2)\cdot (x_1u_1+x_2u_2)=\lambda_1 x_1^2+\lambda_2 x_2^2$ par les propriétés de linéarité de $\phi$ et du produit scalaire. Dans ce cas l’équation de la conique $C$ dans le repère $(O;u_1,u_2)$ devient $\lambda_1x_1^2+\lambda_2x_2^2=k$, et nous pouvons distinguer trois cas :

• Si $\lambda_1,\lambda_2>0$ (on dit que la signature de $Q$ est $(2,0)$), alors soit $k<0$ et $C$ est vide, soit $k=0$ et $C$ est réduite au point $O$, soit $k>0$
• Si $\lambda_1,\lambda_2<0$ (on dit que la signature de $Q$ est $(0,2)$), alors soit $k>0$ et $C$ est vide, soit $k=0$ et $C$ est réduite au point $O$, soit $k<0$
• Si $\lambda_1$ et $\lambda_2$ sont de signes distincts (on dit que la signature de $Q$ est $(1,1)$), alors l’équation de $C$ dans le repère $(O;u_1,u_2)$ devient $|\lambda_1|x_1^2-|\lambda_2|x_2^2=k$, et si $k=0$ l’équation devient $(|\lambda_1|x_1+|\lambda_2|x_2)(|\lambda_1|x_1-|\lambda_2|x_2)=0$ et $C$ est la réunion de deux droites passant par l’origine.

4.2.Classification des coniques non dégénérées : ellipses et hyperboles

Dans les deux cas où $Q$ est non dégénérée et où l’on se ramène à l’origine comme centre, seuls les cas de signature $(2,0)$ avec $k>0$, de signature $(0,2)$ avec $k<0$ et de signature $(1,1)$ avec $k\neq 0$ sont donc non dégénérés, au sens où ils correspondent aux deux premières figures qu’on associe fondamentalement aux coniques :

Définition 3
i) Si $\lambda_1,\lambda_2,k>0$ ou si $\lambda_1,\lambda_2,k<0$, on dit que $C$ est une ellipse.
ii) Si $\lambda_1,\lambda_2$ sont de signe contraire et $k\neq 0$, on dit que $C$ est une hyperbole.

Remarque 1
Notons que si $\lambda_1,\lambda_2,k<0$, alors $-Q$ est aussi une forme quadratique, de valeurs propres $-\lambda_1,-\lambda_2$ : on se ramène au cas de la signature $(2,0)$ avec $k>0$, puisque une équation de $C$ dans la base $(u_1,u_2)$ est aussi $-Q(x)=-k$.

Si $\lambda_1=\lambda_2$, alors nous savons déjà que $C$ est un cercle, dans le cas contraire on a une ellipse non circulaire ou une hyperbole, et en général les vecteurs $u_1,u_2$ engendrent deux droites $D_1$ et $D_2$, qui par définition sont des axes de symétrie de $C$, les directions propres de la conique.

En effet, si $s_i$ est la symétrie orthogonale par rapport à $D_i$ pour $i=1,2$, alors tout point $M$ de $C$ s’écrit de manière unique sous la forme $M=x_1u_1+x_2u_2$ (puisque $(u_1,u_2)$ est une base du plan), de sorte que par définition on a $s_1(M)=x_1u_1-x_2u_2$ et $s_2(M)=-x_1u_1+x_2u_2$, et $s_1(M),s_2(M)$ vérifient l’équation de $C$ dans le repère $(O;u_1,u_2)$.

Si $\lambda_1\lambda_2=ac-b^2>0$, alors $\lambda_1$ et $\lambda_2$ ont même signe, et on a $a\neq 0$ (sinon $b\neq 0$ et $ac-b^2=-b^2<0$), de sorte qu’on peut écrire $Q(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2=a(x+\frac b a y)^2+(\frac {ac-b^2}a)y^2=a(x+\frac b a y)^2+\frac{ac-b^2} a y^2$. Dans ce cas, $a$ et $\frac{ac-b^2} a$ ont même signe, et la conique $C$ est une ellipse :

• Si $a>0$, pour tout vecteur $(x,y)$ non nul on a $Q(x,y)>0$ et $\lambda_1=Q(u_1)/||u_1||^2,\lambda_2=Q(u_2)/||u_2||^2>0$ : on dit que $Q$ est définie positive, c’est le cas de la signature $(2,0)$
• Si $a<0$, alors pour tout vecteur $(x,y)$ non nul on a $Q(x,y)<0$ et $\lambda_1=Q(u_1)/||u_1||^2,\lambda_2=Q(u_2)/||u_2||^2<0$ : on dit que $Q$ est définie négative, c’est le cas de la signature $(0,2)$.
  Quitte à changer $Q$ en $-Q$, on peut toujours supposer que $Q(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2$ pour tous $x,y$, autrement dit que $Q$ est définie positive et que l’équation de $C$ est $Q(x,y)=k$ avec $a,k>0$.

Si $\lambda_1\lambda_2=ac-b^2<0$, alors $\lambda_1$ et $\lambda_2$ sont de signes contraires, et $Q$ prend des valeurs à la fois $>0$ et $<0$, puisque par exemple on a $Q(u_1)=\lambda_1.||u_1||^2$ et $Q(u_2)=\lambda_2.||u_2||^2$ : c’est le cas de la signature $(1,1)$, et la conique $C$ est une hyperbole.

Quitte à changer $Q$ en $-Q$, on peut toujours supposer que $Q(x,y)=ax^2+cy^2$ pour tous $x,y$, et que l’équation de $Q$ est $Q(x,y)=k$ avec avec $a,k>0$.

4.3.Directions propres et équations réduites

Dans le cas où $\lambda_1\neq\lambda_2$, on trouve les deux axes de symétrie de la conique $C$ en recherchant des vecteurs propres de l’endomorphisme $f$, c’est-à-dire des vecteurs non nuls $u_1,u_2$ tels que $f(u_1)=\lambda_1.u_1$ et $f(u_2)=\lambda_2.u_2$.

• Si $b=0$, alors on a $\Delta=(a-c)^2$, de sorte que $\lambda_1=(a+c+|a-c|)/2$ et $\lambda_2=(a+c-|a-c|)/2$. Si $a>c$, on a alors $|a-c|=a-c$, et $\lambda_1=a,\lambda_2=c$, d’où $\phi(1,0)=(a,0)=a.(1,0)$ et $\phi(0,1)=(0,c)=c.(1,0)$ et $u_1=(1,0),u_2=(0,1)$ sont vecteurs propres de $\phi$ pour les valeurs propres $\lambda_1,\lambda_2$.

Les axes de l’ellipse ou de l’hyperbole sont donc les axes des coordonnées. De même, si $a<c$, on a alors $|a-c|=c-a$, et $\lambda_1=c,\lambda_2=a$, donc $\phi(1,0)=c.(1,0)$ et $\phi(0,1)=a.(1,0)$ et $u_1=(0,1),u_2=(1,0)$ sont vecteurs propres de $\phi$ pour les valeurs propres $\lambda_1,\lambda_2$ et les axes de l’ellipse ou de l’hyperbole $C$ sont aussi les axes standard.

Ici l’équation de $C$ est réduite à $Q(x,y)=ax^2+cy^2=k$, équation réduite de l’ellipse $ax^2+cy^2=k$ avec $a,c,k>0$ dans le cas où $ac-b^2>0$, équation réduite de l’hyperbole $ax^2+cy^2=k$ avec $a,k>0$ et $c<0$ dans le cas où $ac-b^2>0$.

• Si $b\neq 0$, alors comme $\lambda$ est racine du polynôme caractéristique $P$, on a $0=-P(\lambda)=-\lambda^2+(a-c)\lambda-(ac-b^2)$, soit en réarrangeant $b^2+c(\lambda-a)=\lambda(\lambda-a)$ pour $\lambda=\lambda_1,\lambda_2$.

Posons $u_\lambda=(b,\lambda-a)$, on a $f(u_\lambda)=(ab+b(\lambda-a),b^2+c(\lambda-a))=(b\lambda,\lambda(\lambda-a))=\lambda.u_\lambda$, de sorte que $u_1=(b,\lambda_1-a)$ et $u_2=(b,\lambda_2-a)$ sont vecteurs propres de $\phi$ pour les valeurs propres $\lambda_1,\lambda_2$, et fournissent ainsi les directions des axes de l’ellipse ou de l’hyperbole $C$.

En général, lorsque les directions propres (axes de symétrie) de la conique $C$ sont identifiées, à partir ici de vecteurs propres $u_1,u_2$ pour les valeurs propres $\lambda_1,\lambda_2$, les ellipses et les hyperboles sont décrites par une équation réduite dans le repère $(O;u_1,u_2)$. Le passage à cette équation consiste alors simplement à exprimer les vecteurs dans la base propre, où :

• les directions sont décorrellées (orthogonalité)
• $\phi$ agit par dilatation scalaire
• et les termes croisés disparaissent automatiquement.

Ainsi, si la décomposition d’un vecteur $u=(x,y)\in\mathbb R^2$ dans la base orthogonale $(u_1,u_2)$ s’écrit $u=Xu_1+Yu_2$, on a $Q(u)=\phi(u)\cdot u=(X\phi(u_1)+Y\phi(u_2))\cdot u= (X\lambda_1u_1+Y\lambda_2u_2)\cdot (Xu_1+Yu_2)$, soit $Q(u)=\lambda_1X||u_1||^2+\lambda_2Y||u_2||^2$, puisque $u_1\cdot u_2=0$.

Dans ce repère, l’équation de $C$ devient alors $\lambda_1X^2+\lambda_2Y^2=k$, d’où les équations réduites suivantes :

• Si $C$ est une ellipse, une équation de $C$ dans ce repère est $x^2/\alpha^2+y^2/\beta^2=1$ : avec $a>0$, il suffit de poser $\alpha^2=k/\lambda_1$ et $\beta^2=k/\lambda_2$, soit $\alpha^2=k/a$ et $\beta^2=k/c$ lorsque $b=0$
• Si $C$ est une hyperbole, une équation de $C$ dans ce repère est $x^2/\alpha^2-y^2/\beta^2=1$ : avec $a>0$ il suffit de poser $\alpha^2=k/\lambda_1$ et $\beta^2=-k/\lambda_2$, soit $\alpha^2=k/a$ et $\beta^2=-k/c$ si $b=0$.

Exemple 6
i) Dans la base $(u_1,u_2)$ donnée par $u_1=(1,(3-\sqrt{13})/2)$ et $u_2=(1,(3+\sqrt{13})/2)$, l’équation réduite de l’ellipse centrée d’équation $2X^2+2XY+5Y^2=145/9$ est $U^2/\alpha^2+V^2/\beta^2=1$, avec $\alpha^2=147(7+\sqrt{13})/162$ et $\beta^2=147(7-\sqrt{13})/162$.
ii) Dans la base $(u_1,u_2)$ donnée par $u_1=(1,-1-\sqrt 2)$ et $u_2=(1,\sqrt 2-1)$, l’équation réduite de l’hyperbole centrée d’équation $3X^2+4XY−Y^2=−1/7$ est $U^2/\alpha^2-V^2/\beta^2=1$, avec $\alpha^2=(2\sqrt 2+1)/49$ et $\beta^2=(2\sqrt 2-1)/49$.

5.Etude des hyperboles

5.1.Directions isotropes d’une forme quadratique

En général, on appelle direction isotrope de $Q$ toute droite vectorielle $D\subset\mathbb R^2$ telle que $Q(u)=0$ pour tout vecteur non nul $u\in D$. Autrement dit, une direction isotrope est une direction dans laquelle la forme quadratique s’annule.

Mais comme $Q$ est homogène de degré $2$, on a $Q(\lambda u)=\lambda^2Q(u)$ pour tout réel $\lambda$, de sorte que si $Q(u)=0$, alors $Q(\lambda u)=0$ aussi : la propriété dépend donc seulement de la direction de $u$, et non de sa magnitude.

L’existence de directions isotropes réelles de $Q$ dépend alors du signe du discriminant $ac-b^2$ :

• si $ac-b^2>0$, la forme quadratique est définie positive ou négative, et il n’existe aucune direction isotrope réelle
• si $ac-b^2=0$, il existe une unique direction isotrope réelle
• si $ac-b^2<0$, il existe exactement deux directions isotropes réelles distinctes.

Dans ce dernier cas, les directions isotropes jouent un rôle fondamental dans l’étude des coniques, qui sont des hyperboles, en ce qu’elles permettent d’en identifier les asymptotes.

5.2.Equation isotrope de l’hyperbole

Dans le cas hyperbolique, nos verrons que les directions isotropes sont des asymptotes des deux branches de l’hyperbole. Pour aborder cette étude, nous devons passer de l’équation réduite de la conique $H=C$ dans le repère $(O;u_1,u_2)$ à l’équation réduite dite « isotrope » dans ce repère.

Puisque $(u_1,u_2)$ est une base du plan, pour tout point $M=(x,y)\in\mathbb R^2$ il existe $s,t\in\mathbb R$ uniques tels que $M=su_1+tu_2$, de sorte qu’on a $Q(x,y)=t^2Q(u_1)+2stB(u_1,u_2)+s^2Q(u_2)=2stB(u_1,u_2)$, puisque $Q(u_1)=Q(u_2)=0$. Comme la forme bilinéaire $B$ est non dégénérée, on a aussi $B(u_1,u_2)\neq 0$, donc l’hyperbole $H$ est l’ensemble des points $M$, de coordonnées $(s,t)$ dans le repère $(O;u_1,u_2)$, tels que $2stB(u_1,u_2)=k$, autrement dit tels que

$$st=\frac{k}{2B(u_1,u_2)}.$$

Posons $\lambda:=k/2B(u_1,u_2)$. L’hyperbole $H$ est la réunion disjointe des deux ensembles $H_1:=\{(x,y)=su_1+tu_2\in\mathbb R^2 : s>0\ \&\ st=\lambda\}$ et $H_2=\{(x,y)=su_1+tu_2\in\mathbb R^2 : s<0 \ \&\ st=\lambda\}$, appelés branches de l’hyperbole et symétriques par rapport à l’origine $O$ du plan euclidien.

Il existe alors deux paramétrisations standard pour $H_1$ et $H_2$, la fonction $f_1:s\in\mathbb R_+^*\mapsto su_1+(\lambda/s) u_2$ et la fonction $f_2:s\in\mathbb R_-^*\mapsto su_1+(\lambda/s) u_2$, et on a $f_2(s)=-f_1(-s)$ pour tout $s\in\mathbb R_-^*$.

5.3.Asymptotes des hyperboles

Remarquons d’abord que les modules des points des deux branches tendent vers $+\infty$ lorsque $s\to\pm\infty$ ou lorsque $s\to 0^\pm$. En effet, pour tout $s\neq 0$, on a $f_1(s)=su_1+\frac{\lambda}{s}u_2,$ de sorte que, puisque $(u_1,u_2)$ est une base orthonormée du plan, $|f_1(s)|^2=s^2+\frac{\lambda^2}{s^2}.$

Ainsi, lorsque $s\to+\infty$, le premier terme tend vers $+\infty$, tandis que lorsque $s\to0^+$, le second terme tend vers $+\infty$. Le cas de la branche $H_2$ correspond de même aux limites $s\to-\infty$ et $s\to0^-$.

Cette écriture des branches de l’hyperbole suggère alors naturellement l’existence d’asymptotes. En effet, lorsque $s\to+\infty$, le point $f_1(s)=su_1+\frac{\lambda}{s}u_2$ se rapproche moralement du point $su_1$ de la droite isotrope $\mathbb Ru_1$, puisque le coefficient $\lambda/s$ tend vers $0$. De même, lorsque $s\to0^+$, on peut écrire $f_1(s)=\frac{\lambda}{s}u_2+su_1,$ et les points de la branche semblent alors se rapprocher de la droite isotrope $\mathbb Ru_2$.

Définition 4
On appelle asymptote d’une branche d’hyperbole une droite $D$ telle que la distance d’un point $M$ de cette branche à $D$ tende vers $0$ lorsque $|M|$ tend vers $+\infty$ le long de cette branche.

Montrons alors que les deux directions isotropes sont effectivement des asymptotes de $H_1$.

Comme $(u_1,u_2)$ est une base orthonormée du plan, la distance d’un point $f_1(s)=su_1+\frac{\lambda}{s}u_2$ à la droite $\mathbb Ru_1$ est précisément la norme de sa composante selon $u_2$, c’est-à-dire $\left|\frac{\lambda}{s}\right|,|u_2|=\left|\frac{\lambda}{s}\right|,$ qui tend vers $0$ lorsque $s\to+\infty$. Ainsi, la droite isotrope $\mathbb Ru_1$ est une asymptote de la branche $H_1$ en $+\infty$.

De même, la distance du point $f_1(s)$ à la droite $\mathbb Ru_2$ est précisément la norme de sa composante selon $u_1$, c’est-à-dire $|s|,|u_1|=|s|,$ qui tend vers $0$ lorsque $s\to 0^+$. Ainsi, la droite isotrope $\mathbb Ru_2$ est aussi une asymptote de la branche $H_1$.

Par symétrie centrale de l’hyperbole par rapport à l’origine, les mêmes propriétés valent pour la branche $H_2$. Les deux directions isotropes de la forme quadratique $Q$ sont donc exactement les deux asymptotes de l’hyperbole.

6.Coniques dégénérées et paraboles

6.1.Formes quadratiques de rang $1$

La dernière grande famille de coniques, les paraboles, est obtenue à partir de l’équation initiale $Q(x,y)=k$ dans le cas où $Q$ est dégénérée et non triviale (c’est-à-dire non nulle). Cela correspond exactement au cas où $Q$ est de rang $1$, c’est-à-dire au cas où l’endomorphisme associé $\phi:(x,y)\mapsto (ax+by,bx+cy)$, est de rang $1$, autrement dit n’est ni injectif, ni surjectif : son noyau et son image sont deux droites vectorielles.

Exemple 7
La conique d’équation $Q(x,y)=x^2+2xy+y^2−6x+2y−3=0$ a pour endomorphisme associé $F:(x,y)\mapsto (x+y,x+y)$, de rang $1$, donc c’est une parabole.

Cette condition est équivalente à l’égalité $ac-b^2=0$, pour laquelle nous pouvons considérer deux cas :

• Si $a\neq 0$, alors on a $c=b^2/a$, d’où $Q(x,y)=ax^2+2bxy+(b^2/a)y^2=a(x^2+2(b/a)xy+(b/a)y^2)=a(x+(b/a)y)^2$ : quitte à changer $Q$ en $-Q$ (ce qui est toujours possible quitte à changer $k$ en $-k$), on peut alors supposer que $a>0$ et écrire $Q=L^2$, où $L:(x,y)\mapsto (\sqrt a)(x+(b/a)y)$ est une forme linéaire
• Si $a=0$, alors comme $b^2=0$ il vient aussi $b=0$, donc $Q(x,y)=cy^2$ : quitte à changer $Q$ en $-Q$, on peut supposer de même que $c>0$ et on peut alors écrire $Q=L^2$, avec $L:(x,y)\mapsto (\sqrt{c})y$.

Ainsi, dans les deux cas, quitte à changer $Q$ en $-Q$ on peut supposer que $Q$ est le carré d’une forme linéaire $L_1$, sans présager du signe de $k$.

Finalement, l’équation de la conique, en général dans le cas dégénéré, est de la forme $L_1^2(x,y)+L_2(x,y)=k$, où $L_1,L_2$ sont des formes linéaires. Deux cas doivent être à nouveau distingués :

• Soit $L_1$ et $L_2$ sont proportionnelles, autrement dit il existe un nombre réel $\lambda$ tel que $L_2=2\lambda L_1$; dans ce cas l’équation de la conique $C$ se ramène à $(L_1(x,y)+\lambda)^2=k+\lambda^2$ : si $k+\lambda^2<0$, $C$ est l’ensemble vide, si $k+\lambda^2=0$, $C$ est la droite d’équation $L_1(x,y)+\lambda=0$, si $k+\lambda^2>0$, $C$ est la réunion des deux droites parallèles d’équations respectives $L_1(x,y)+\lambda+\sqrt{k+\lambda^2}=0$ et $L_1(x,y)+\lambda-\sqrt{k+\lambda^2}=0$, puisqu’une équation de $C$ est aussi $(L_1(x,y)+\lambda)^2-(k+\lambda)^2=0$
• Soit $L_1$ et $L_2$ sont linéairement indépendantes : il n’existe aucun nombre réel $\lambda$ tel que $L_1=\lambda L_2$

Le premier cas est dégénéré — comme les cas analogues pour $Q$ non dégénérée — et dans le second cas on obtient la dernière famille de coniques usuelles.

6.2.Parabole, équation normale, axe et sommet

Définition 5
Si $L_1,L_2$ sont deux formes linéaires linéairement indépendantes, alors la conique $C$ formée des points $(x,y)$ tels que $Q(x,y)=L_1(x,y)^2+L_2(x,y)=k$ est appelée une parabole.

On se donne une parabole $P$, d’équation $Q(x,y)+L_2(x,y)=L_1(x,y)^2+L_2(x,y)=k$, où $L_1,L_2$ sont des formes linéaires, avec $L_1\neq 0$ puisque $Q$ n’est pas dégénérée.

Comme $L_1,L_2$ sont des formes linéaires, nous savons qu’il existe d’uniques vecteurs $v_1, v_2$ tels que pour tout $u\in\mathbb R^2$, on a $L_1(u)=u\cdot v_1$ et $L_2(u)=u\cdot v_2$. Comme $L_1$ et $L_2$ ne sont pas proportionnelles, les vecteurs $u_1$ et $u_2$ ne sont pas colinéaire, ils forment donc une base du plan. En posant $u_1=(1/||v_1||).v_1$, $w_1=u_1$, $w_2=v_2-[(v_1\cdot v_2)/||v_1||^2].w_1$ et $u_2=(1/||w_2||).w_2$, on vérifie qu’on obtient une base orthonormée $(u_1,u_2)$ du plan.

Par construction, il existe un nombre réel $\lambda$ tel que $v_2=w_2+2\lambda v_1$ : c’est le nombre $\lambda=(v_1\cdot v_2)/2||v_1||^2$. Notons $u=(x,y)$ : on a alors
$$\begin{eqnarray} & L_1(x,y)^2+L_2(x,y)=k\\\Leftrightarrow &(u\cdot w_1)^2+(u\cdot w_2)+2\lambda (u\cdot w_1)=k\\\Leftrightarrow &[(u\cdot w_1)+\lambda]^2=k+\lambda^2-(u\cdot w_2)\end{eqnarray}$$

Les vecteurs $w_1,w_2$ sont linéairement indépendants, donc les droites d’équations respectives $u\cdot w_1+\lambda=0$ et $k+\lambda^2-u\cdot w_2$ sont elles-mêmes orthogonales, et donc sécantes en un point $S$. En particulier, on a $\overrightarrow{OS}\cdot w_1=-\lambda$ et $\overrightarrow{OS}\cdot w_2=k+\lambda^2$, si bien qu’en posant $M=(x,y)=u=\overrightarrow{OM}$, il vient
$$\begin{eqnarray} &L_1(x,y)^2+L_2(x,y)=k\\
\Leftrightarrow &L_1(\overrightarrow{OM})^2+L_2(\overrightarrow{OM})=k\\
\Leftrightarrow &[\overrightarrow{OM}\cdot w_1+\lambda]^2=k+\lambda^2-\overrightarrow{OM}\cdot w_2\\
\Leftrightarrow &[\overrightarrow{OS}\cdot w_1 + \overrightarrow{SM}\cdot w_1 + \lambda]^2=k+\lambda^2-\overrightarrow{OS}\cdot w_2-\overrightarrow{SM}\cdot w_2\\
\Leftrightarrow &(\overrightarrow{SM}\cdot w_1)^2=-\overrightarrow{SM}\cdot w_2\end{eqnarray}$$

Décomposons $\overrightarrow{SM}$ dans la base $(u_1,u_2)$, sous la forme $\overrightarrow{SM}=x’.u_1+y’.u_2$. On a alors $M\in P$ si et seulement si $(\overrightarrow{SM}\cdot w_1)^2=-\overrightarrow{SM}\cdot w_2$, c’est-à-dire si et seulement si $[(x’.u_1+y’.u_2)\cdot w_1]^2=-[(x’.u_1+y’.u_2)\cdot w_2]$, ou encore $(x’.||w_1||)^2=-y’.||w_2||$, puisque $w_1=||w_1||.u_1$ et $w_2=||w_2||.u_2$.

Ainsi, l’équation de la parabole $P$ dans le repère $(S;u_1,u_2)$ est $$y’=-\frac{||w_1||^2}{||w_2||}.x’^2.$$

Exemple 8
La parabole $P$ d’équation $x^2+2xy+y^2−6x+2y−3=0$ a pour base orthogonale réduite $(u_1,u_2)$, avec $u_1=(1,-1)$ et $u_2=(1,1)$, et en posant $U=(x+y)/\sqrt 2$ et $V=(x-y)/\sqrt 2$ l’équation de $P$ devient $2U^2-2\sqrt 2 U-4\sqrt 2 V=3$. Après une translation, en posant $U’=U-\sqrt 2/2$ et $V’=V+\sqrt 2/2$, on obtient la forme canonique $V’=(\sqrt 2/4)U’^2$ dans le nouveau repère $(O’;u_1,u_2)$, avec $O’=(\sqrt 2/2,-\sqrt 2/2)$.

Soit $D$ la droite passant par $S$ et de vecteur directeur $u_2$ : pour tout $M=x’u_1+y’u_2\in P$, on a $y’=-\frac{||w_1||^2}{||w_2||}.x’^2=-\frac{||w_1||^2}{||w_2||}.(-x’)^2$, donc le point $M’=-x’u_1+y’u_2$, symétrique de $M$ par rapport à la droite $D$, est aussi sur $P$. Autrement dit, la droite $D$ est un axe de symétrie de $P$.

Définition 6
La droite $D=\mathbb R u_2$ est appelé l’axe de la parabole $P$.

La droite $D$ et la droite $\mathbb Ru_1$, orthogonales, se coupent par définition au point $S$, dont les coordonnées dans le repère normal $(S;u_1,u_2)$ sont $(0,0)$, et qui est donc son propre symétrique par rapport à $D$. Ce point est ainsi caractérisé de manière unique.

Définition 7
Le point $S$ d’intersection des droites $\mathbb Ru_1$ et $\mathbb Ru_2$ est appelé sommet de la parabole $P$.

Exemple 9
La parabole $P$ d’équation $x^2+2xy+y^2−6x+2y−3=0$ a pour sommet $S=(0,1)$ et pour axe la droite $D$ d’équation $x+y=1$.